ЗАДАЧА ПРОДОЛЖЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА В СТОРОНУ АНОМАЛИЙ

Статья посвящена разработке приложения, реализующего метод продолжения потенциальных полей в сторону аномалий. Изложена основная идея метода интегральных уравнений, итерационного метода решения некорректных задач. Приводятся примеры работы приложения.

ЗАДАЧА ПРОДОЛЖЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА В СТОРОНУ АНОМАЛИЙ

УДК 519.63

Труфакина Ксения Александровна,

Челябинский государственный университет

Троицкий филиал

студент кафедры Математики, экономики и управления,

г. Троицк, Россия

E-mail: kseaena@yandex.ru

Научный руководитель: Кутузов Антон Сергеевич,

кандидат физико-математических наук доцент,

Челябинский государственный университет

Троицкий филиал

кафедра математики, экономики и управления,

г. Троицк, Россия

E-mail: thething84@mail.ru

АННОТАЦИЯ:

Статья посвящена разработке приложения, реализующего метод продолжения потенциальных полей в сторону аномалий. Изложена основная идея метода интегральных уравнений, итерационного метода решения некорректных задач. Приводятся примеры работы приложения.

Ключевые слова: гравитационный потенциал, некорректная задача, интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

  1. Введение. Как известно, в теории дифференциальных уравнений краевая задача с частными производными считается корректной в том случае, если ее решение существует, единственно и устойчиво, т. е. непрерывно зависит от исходных данных [1, с. 74]. Как правило, классические задачи математической физики удовлетворяют этим условиям. Тем не менее, в приложениях возникают и некорректные задачи.

В геофизике широко распространены методы гравиметрии, в которых распределение масс внутри Земли определяется при помощи измерения гравитационного поля. При интерпретации гравиметрических данных применяются методы аналитического продолжения потенциала [2, с. 68].

Особенности глубинных аномалий проявляются более четко, если потенциал продолжается вниз в сторону аномалий масс. Данная задача сводится к решению интегрального уравнения первого рода, решение которого неустойчиво [3, с. 10]. Решение такой задачи дает важные сведения об условиях залегания возмущающих масс и об аномальных телах, что расширяет возможности исследования гравитационных аномалий на практике. Разделение аномалий происходит при приближении к источникам возмущений, с чем связана необходимость продолжения потенциальных полей в сторону аномалий.

  1. Постановка задачи и основная идея метода интегральных уравнений. Пусть — гравитационный потенциал аномалии, расположенной в толще Земли; — горизонтальная ось, а ось направлена вертикально вверх. Расположим ось так, чтобы на земной поверхности .

Рассматриваемая задача определения гравитационного потенциала при вплоть до аномалий, глубина залеганий которых есть , а потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа в области без аномалий, имеет вид:

(1)

Условия на поверхности имеют вид

(2)

Другое краевое условие имеет вид

(3)

Ограниченность решения обеспечивается наложением ограничений на поведение функции при .

Задача (1) — (3) при является обычной краевой задачей. Проблема продолжения решения этой корректной задачи возникает при условии , которое обращает задачу в некорректную.

Задача продолжения (1) — (3) при может быть переформулирована как задача продолжения для

(4)

(5)

(6)

В данном случае мы получаем задачу продолжения решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Для приближенного решения задачи продолжения (4) — (6) можно использовать различные вычислительные алгоритмы. Нами был выбран метод интегральных уравнений [4, с. 163]. Гравитационный потенциал от аномалий будем приближать потенциалом простого слоя с носителем, расположенным на отрезке и глубине . С точностью до множителя

(7)

Для производной по вертикальной переменной получим

(8)

Для определения неизвестной плотности получим интегральное уравнение первого рода

(9)

с симметричным ядром

(10)

Уравнение (9) запишем в виде операторного уравнения первого рода

(11)

Рассматриваемый интегральный оператор самосопряжен и ограничен. Однако применение итерационного метода непосредственно для уравнения (11) неправомерно в силу того, что оператор А не является неотрицательным. Поэтому необходимо использовать симметризацию уравнения (11),

(12)

после которой уже используется итерационный метод.

Программная реализация базируется на применении итерационных методов при решении задачи со случайными погрешностями во входных данных.

При численном решении интегрального уравнения (12) используется равномерная сетка

Интегральному оператору А поставим в соответствие сеточный оператор

(13)

Сеточным аналогом уравнения (12) является

(14)

Для приближенного решения (14) применяется итерационный метод

Рассматривалось два способа выбора итерационных параметров:

  1. Метод простой итерации:

(15)

  1. Метод скорейшего спуска:

(16)

Погрешности входных данных вводились путем возмущения точного решения в узлах сетки по закону:

где — нормально распределенная от 0 до 1 случайная величина.

Параметр определяет уровень погрешности в задании правой части уравнения (11).

Выход из итерационного процесса осуществляется по невязке, то есть, из условия [4, с. 168].

Для программной реализации была выбрана открытая среда разработки программного обеспечения Lazarus, аналогичная Delphi.

В рамках квазиреального эксперимента задается точное значение

в случае двух аномалий мощности и , глубина которых и соответственно.

По данному решению определяется функция . Затем строится возмущенная функция , которая и выступает в качестве исходных данных в методе итераций (рис. 1). При реальном эксперименте сразу вводятся исходные данные измерений на земной поверхности (рис. 2).

Интерфейс приложения включает в себя поля Edit для ввода данных (при запуске приложения по умолчанию в поля уже внесены некоторые данные), компоненты RadioGroup для выбора формы вывода данных (таблица или график) и выбора способа, по которому подбирается параметр итерации. Кнопка Button предназначена для запуска программы. В наличии две вкладки для проведения квазиреального и реального экспериментов. Полученные значения и графики выводятся в отдельные компоненты Grid и Chart соответственно.

  1. Примеры работы программы. Приведем некоторые примеры решения задачи продолжения в случае, когда глубина расположения носителя .

Используется расчетная сетка с узлами. Рассмотрим модельную задачу с двумя аномалиями кругового сечения с центрами и на отрезке . Пусть , т. е. более глубокая аномалия мощнее в четыре раза. Зададим уровень погрешности входных данных и глубину продолжения .

Результат работы программы представлен на рис. 1. Как видно из рисунка, по данным расчетов плохо идентифицируются два источника возмущений гравитационного потенциала. Рассчитанное поле на глубине дает лишь усредненные значения точного.

Если аномалии располагаются на несколько большем расстоянии друг от друга, например, и , то происходит разделение аномалий (рис. 2).

C:\Users\User\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.Word\рис 1.jpg

Рис. 1 — Квазиреальный эксперимент

C:\Users\User\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.Word\рис 2.jpg

Рис. 2 — Квазиреальный эксперимент. Разделение аномалий

Приведем некоторые примеры решения задачи продолжения в случае, когда нам известно аномальное поле на земной поверхности.

Используется расчетная сетка с узлами.

Рассмотрим задачу при на отрезке . Зададим уровень погрешности входных данных и глубину продолжения . Предположим, что глубина расположения носителя . Результат работы программы представлен на рис. 3.

При анализе данных можно отметить, что результаты расчетов не слишком хорошие: точное и рассчитанное значение на поверхности совпадают мало, а значит, рассчитанное значение на глубине могло быть вычислено с большой погрешностью.

Попробуем изменить глубину расположения носителя . Полученный график оказался куда более точным (рис. 4).

Анализируя таблицу значений, мы можем предположить, что единственная аномалия располагается на глубине при . Таким образом, изменяя глубину , мы можем определить расположение гравитационной аномалии.

C:\Users\User\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.Word\рис 3.jpg

Рис. 3 — Реальный эксперимент

C:\Users\User\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.Word\рис 4.jpg

Рис. 4 — Реальный эксперимент. Изменение глубины расположения носителя

При проведении квазиреального эксперимента число аномалий не фиксировано, возможно изменение числа записей в таблице данных на земной поверхности. При проведении реального эксперимента доступен ввод любой из наиболее распространенных математических функций с любым аргументом (например, и т. д.).

Программа работает достаточно быстро. Число итераций искусственно ограничено до 1000 – как правило, этого достаточно, чтобы получить хорошее решение.

  1. Результаты. В результате проведенной работы было создано приложение, позволяющее продолжить потенциал поля в сторону аномалий, изучены теоретические основы метода интегральных уравнений и проведено тестирование программы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. – Новосибирск: [б. и.], 1973. – 70 с.
  2. Дмитриев В. И., Дмитриева И. В. Итерационный метод аналитического продолжения гравитационного поля // Прикладная математика и информатика. – 2010. – №36. – С. 67-73.
  3. Шварц, Л. Математические методы для физических наук. – М.: Мир, 1965. – 412 с.
  4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. – 3-е изд. – М.: УРСС, 2004. – 478 с.

 

Добавить комментарий